שאלות ותשובות לגבי הממד הרביעי – 13

שאלות ותשובות לגבי הממד הרביעי – 13

שאלות ותשובות לגבי הממד הרביעי

רודולף שטיינר

GA324a

תרגום מרומנית: מ. ברכה

עריכת תרגום: דניאל זהבי

תיקונים: דליה דיימל

לספר ראו כאן

מספר 13

שטוטגרט 11.3.1920

שאלה ראשונה: האם ניתן להגדיר את הניסיון שהוצג כהגדרה של העל-מדומה על ידי יחסי נקודות על משטחים מעוקמים, או מסתובבים, כמקביל למציאות?

שאלה שניה: האם ניתן לקבל תמונה חיה על תחום המספרים המדומים? האם יש גופים אמיתיים העומדים בבסיס התחום הזה?

שאלה שלישית: אילו היבטים של המתמטיקה המודרנית, ואילו היבטים פורמליים בפרט, דורשים התפתחות נוספת במובן של מדע הרוח?[1]

תנו לי להתחיל עם השאלה השנייה. לא קל לנסח את התשובה מכיוון שכדי לעשות זאת עלינו לעזוב במידה רבה מאוד את תחום ההדמיה. כאשר עניתי על שאלתו של ד"ר מולר לפני מספר ימים,[2] ראית שכדי לספק הקבלה מוחשית למשפט מתמטי, היה עלי להתייחס אל המעבר מעצמות ארוכות לעצמות הראש, ועם זאת הדוגמה הגרפית הייתה עדיין תקפה.[3] לפחות במקרה זה עדיין הצלחנו לדמיין את האובייקטים ולכן את המעבר מאובייקט אחד למשנהו.

כאשר אנו רוצים להסתכל על תחום המספרים המדומים כמציאות רוחנית,[4] אנו מבינים שעלינו לעבור מחיובי לשלילי, כפי שהדגמנו לאחרונה בהרצאות על הפיזיקה.[5] שינוי זה עוזר לרעיונות שלנו להתאים את עצמם למציאות, כאשר אנו מנסים להבין יחסים מסוימים בין חומר שאפשר להעריכו לבין גורמים מקריים, שלא ניתן להעריכם מראש. אך גם כאשר אנו מדמיינים תחומים רגילים מאוד, ניתן להיווכח בצורך להתעלות מעבר לדרכי התיאור המקובלות שלהם.

אני רוצה להזכיר רק דוגמה אחת. במישור שטוח של הספקטרום הרגיל נוכל לצייר קו ישר מאדום דרך ירוק לסגול.[6] אולם, ציור כזה לא מסמל את כל ההיבטים שקשורים לעניין, אותם אפשר להקיף רק כאשר אנו מציירים בשטח זה עקומה, פחות או יותר, אשר תסמל את הצבע האדום. [ההתייחסות היא לציור שלא נשמר] לאחר מכן, כדי לתאר את הסגול אנו ניגשים ללוח ומאחורי הלוח, כך שהאדום, כפי שהוא נראה מלמעלה, נמצא מול הסגול. עלי לצאת מהשטח בשביל הצבע האדום ולשוב אליו בשביל הצבע הסגול, וזאת כדי לאפיין את הסגול כתנועה פנימה לעבר פעילות כימית, ואת האדום כנע החוצה לעבר חום.[7] לפיכך, אני נאלץ להאריך כאן את הקו ולראות את הציור שלי הופך להיות השלכה של מה שהייתי צריך לצייר בפועל.

כשברצוננו לקבל בהירות בנוגע לתופעות מסוימות של המציאות העליונה, אין די לעבור מההיבט החומרי החיובי לשלילי. אין זה מניח את הדעת בדיוק כמו לנוע בקו ישר מאדום דרך ירוק לסגול. כאשר אנו עוברים מן התחום המרחבי אל התחום הלא-מרחבי (מסומל על ידי חיובי ושלילי, בהתאמה) עלינו לעבור לצורה גבוהה יותר של תחום מרחבי ותחום לא-מרחבי. תהליך זה הוא כמו לנוע לאורך ספירלה, במקום לנוע במעגל ולחזור לנקודת ההתחלה.

כפי שבכל מקום אחר ניתן לאחד שני מינים שונים באיחוד המכיל את שניהם, כך נוכל לדמיין גם את קיומו של משהו שהוא גם מרחבי וגם לא מרחבי. עלינו לחפש את היסוד השלישי הזה. בתחום המציאות הגבוהה יותר, אם אנו מתארים את המציאות הפיזית כחיובית, אנו חייבים לתאר את התחום האתרי, שבו אנו עוזבים את המרחב ונכנסים אל הרוח, כשלילי.[8] אולם אם אנחנו רוצים להיכנס לתחום האסטרלי, מרחב ומרחב שלילי כבר אינם מספיקים. עלינו לפנות ליסוד שלישי המתייחס למרחב חיובי ושלילי בדיוק באותו אופן כמו שמספרים מדומים מתייחסים למספרים חיוביים ושליליים במתמטיקה פורמלית. ואם לאחר מכן נעבור מהתחום האסטרלי להווייתו האמיתית של ה'אני', אנו זקוקים למושג שהוא על-מדומה ביחס למדומה. מסיבה זו מעולם לא הרגשתי שבע רצון מההתנגדות האקדמית למספרים על-מדומים, כי מושג זה הוא הכרחי באמת כאשר אנו עולים לרמה של 'אני' ואי אפשר להשמיט אותם, אלא אם כן נרצה שהנוסחאות המתמטיות שלנו תעזובנה את תחום המציאות.[9] הבעיה היא פשוט כיצד להשתמש במושג הנכון במתמטיקה פורמלית.

מישהו שפגשתי היום דן בבעיית ההסתברות, בעיה שמדגימה בבירור את הקושי הרב בקשר בין ההליך המתמטי למציאות. חברות הביטוח יכולות לחשב מתי אדם עלול למות והמספר הוא מדויק כאשר הוא מיושם על קבוצות. בכל מקרה אי אפשר להסיק מהחישובים הללו שחלק מהאנשים ימותו בדיוק בשנה החזויה. כתוצאה מכך, חישובים אלה אינם ריאליים.

מבחינה פורמלית תוצאות החישובים לרוב נכונות, אך אינן תואמות את המציאות. כמו כן עלינו לתקן במובנים מסוימים את ההיבטים הפורמליים של המתמטיקה על מנת להעניק להם תוצאות כאלה של מציאות על-אמפירית. לדוגמה, האם נכון לומר ש- a × b = 0 כאשר רק אחד הגורמים הוא אפס? אם a או b שווה לאפס, המכפלה שלהם היא בהחלט אפס. אך האם ייתכן שהמכפלה תהיה שווה לאפס כאשר אף גורם אינו אפס? אכן, זה יכול להיות אפשרי אם המציאות תאלץ אותנו להגיע למספרים על-מדומים, המתואמים עם המציאות העל-אמפירית.[10] עלינו אכן לנסות להבהיר, במתמטיקה, את היחס בין מספרים אמיתיים למספרים מדומים והקשר של מספרים על-מדומים למספרים מדומים ולמספרים אמיתיים, אך לאחר מכן יהיה עלינו גם לשנות את כללי החישובים.

לגבי השאלה הראשונה: אצל האדם אנו יכולים להבחין רק במה שנמצא מעל רמה מסוימת ומתחת לרמה מסוימת. אני מסביר את זה כמעט לכל מי שלדעתי יכול להבין זאת. לכל מי שמגיע לפסל העץ הידוע בדורנאך של כריסטוס במרכז כנציג האנושות, עם לוציפר ואהרימן משני הצדדים,[11] אני מסביר שבאמת עלינו לדמיין את האדם שמולנו כבמצב של איזון. מצד אחד קיים מה שנמצא מעל לחושים, ובצד השני מה שמתחת לחושים. האדם תמיד מייצג את מצב האיזון בין מה שנמצא מעל לחושים, לבין מה שנמצא מתחת לחושים.

כמובן, האדם הוא מיקרוקוסמוס וקשור למקרוקוסמוס. לכן אנו רואים שחייב להיות אפשרי לבטא את הקשר בין כל פרט אצל האדם לבין תופעה מקבילה במקרוקוסמוס. תנו לי להמחיש זאת כך: אם זהו מישור האיזון [התייחסות לציור שלא נשמר] ואני מדמיין את האלמנט התת-חושי של האדם כעקומה סגורה, ואת היסוד העל-חושי, את שיש לאדם בתודעה שלו, כמו עקומה פתוחה, הצורה שמתקבלת מחוברת מלמטה ונפתחת החוצה למעלה. זו הדרך שבה האדם מוטמע בתוך המקרוקוסמוס. שכן דרך משטח זה בצורת כדור, האדם נמשך מחוץ למקרוקוסמוס, בעוד שהעקומה הפתוחה של השטח העליון, משלבת אותו בתוך המקרוקוסמוס. זהו המקום של החלטות הרצון האנושי החופשי. מעל רמת הרצון החופשי נמצא כל מה שמאפשר לאדם להעביר את כוחותיו האנושיים אל המקרוקוסמוס. כל מה שמתחת לרמה זו סוגר על כוחות המקרוקוסמוס כך שניתן ליטול צורה ספציפית.

אם היינו מנסים למצוא בתוך התחום של צורות מישור אלה – שנוצרו על ידי עקומה זו – סדרת נתונים מסוימים, הייתי מכנה את X כמייצג את המחשבות הקוסמיות שאנו יכולים להתבונן בהן, את Y ככוחות הקוסמיים שיכולים להיות נצפים, ואת Z, כתנועות הקוסמיות שאנו יכולים להסתכל עליהן. אם הייתי רוצה לקבל את מה שמתאים להם באדם עלי ליצור פונקציה מהנתונים הנ"ל. כאן אנו זקוקים לפונקציה של X, Y ו-Z.

אך ברגע שהייתי רוצה למצוא מספרים המבטאים את היחס הזה אני לא יכול למצוא אותם בתחום מערכת המספרים השייכת למישור זה. על מנת לחבר את האדם העל-חושי עם האדם התת-חושי, עלי לפנות למשוואות המכילות מספרים השייכים למערכות על משטחים מעוקמים. ניתן להגדיר משטחים אלה בצורה מדויקת יותר כפרבולואידים מסתובבים, משטחים שמופיעים כאשר חרוטים מסתובבים בצורה כזו שכל נקודה שמסתובבת משנה ללא הרף את מהירותה. ישנם גם פרבולואידים מסתובבים מורכבים יותר, אשר הנקודות שלהם, במקום שהיחסים ביניהן יהיו קבועים, מסוגלות להשתנות בתוך גבולות חוקים מסוימים. לפיכך, המשטחים המשרתים את מטרתי הם פרבולואידים מסתובבים מלאי חיים בתוך עצמם.

היחסים שאני מתאר הם קשים ביותר, חלק מהאנשים דמיינו אותם, והתגלה הצורך בכך, אך חישובים מדויקים יתאפשרו רק כאשר מדע הרוח ישתף פעולה עם המתמטיקה, אם שיתוף פעולה זה יתאפשר מתישהו… הנתיב שהדגשת לנו היום הוא בעיני התחלה, תשובה ראשונית אפשרית לאתגר של הגילוי מה מקביל לשיתוף פונקציות קשורות המתייחסות למערכות מספרים על פני השטח של שני פרבולואידים מסתובבים (האחד סגור למטה, והשני פתוח למעלה), שקודקודיהם נפגשים בנקודה אחת. כפי שתיארתי, פשוט נצטרך למצוא את המספרים על המשטחים האלה, שאכן מתאימים למצב אמיתי.

בקשר להתפתחות העתידית של המתמטיקה הפורמלית, אני חייב להודות כי יש עוד הרבה מה לעשות ודברים רבים אפשריים. ההערה הבאה שלי אולי תעשה עוול למתמטיקה הפורמלית, מכיוון שלא הצלחתי להתעדכן בזה בשנים האחרונות. עבר הרבה זמן מאז שהייתי מודע לחלוטין למה שקורה בתחום הזה, וייתכן והדברים השתנו. לפני תחילת המאה תמיד הרגשתי שמאמרים שפורסמו בתחום המתמטיקה הפורמלית היו אדישים להחריד לגבי השאלה האם החישובים והפעולות שלהם באמת אפשריים או האם יש לשנות אותם בשלב כלשהו בהתאם למצבים אמיתיים כלשהם. לדוגמה, אנו יכולים לשאול מה קורה כאשר מכפילים מוכפל חד-ממדי במוכפל דו-ממדי. למרות שאפשר לענות על שאלות כאלה, לא פחות מכך עלינו לשאול את עצמנו האם פעולה כזו תואמת מציאות כלשהי או שזה רק משהו שאנחנו יכולים לדמיין. כדי להתקדם, ​​ייתכן שיהיה צורך להגדיר בבירור את המושג "רק מה שהוא בר-חישוב".

כדוגמה, מזמן ניסיתי להוכיח ולאמת את משפט פיתגורס במונחים מספריים בלבד, מבלי להסתמך על אמצעי עזר חזותיים.[12] זוהי שאלה של גיבוש האלמנט המתמטי הטהור כדי שלא נסטה לתחום הגיאומטריה. כאשר אנו מחשבים עם מספרים – כל עוד אנו משתמשים במספרים רגילים – הם רק מספרים, ואין צורך לדבר על מערכות מספרים בתחום מרחבי מסוים. אך כשאנחנו עוברים למספרים האחרים – מספרים מדומים, מספרים מורכבים, מספרים על-מורכבים, מספרים על-מדומים – עלינו לדבר על התחום העליון של המרחב. ראיתם איך זה אפשרי, אך רק בגלל שאנחנו עוזבים את המרחב הרגיל שלנו. מסיבה זו נראה לי הכרחי שלפני קביעת מספרים שיכולים להיות רק סמליים – ובמובן מסוים, רישום נקודות התאמה נוספות בתחומים מסוימים במרחב מהווה סימול – מתמטיקה פורמלית חייבת לחקור כיצד ניתן לייצג אותם, אך ללא עזרת הגיאומטריה,[13] כלומר, במובן זה שאני יכול לייצג פונקציה לינארית על ידי סדרה של מספרים חיוביים ושליליים.

יש להשיב על השאלה כיצד נוכל לדמיין את הקשר בין מספרים חיוביים ושליליים ברמה אלמנטרית גרידא. למרות שאני לא יכול לתת תשובה חד-משמעית, כי לא עסקתי בנושא בעצמי ואני לא יודע מספיק אודותיו, הפיתרון של גאוס[14] – כלומר ההנחה שההבדל בין מספרים חיוביים לשליליים הוא מושגי בלבד – הוא לדעתי לא מספק. פרשנותו של דוהרינג למספרים שליליים כחיסור ללא המחוסר נראית לא מספיקה.[15] דוהרינג מסביר את המספר √ −1 באופן דומה, אך מספר זה אינו אלא ניסיון לבצע פעולה שאינה יכולה להתבצע במציאות, למרות שהסימון לכך קיים. אם יש לי 3 ואין מה להפחית ממנו, נשאר 3. הסימון לפעולה זו קיים, אבל שום דבר לא משתנה. לדעתו של דוהרינג, המנה הדיפרנציאלית היא רק פעולה מסומנת שאינה תואמת שום דבר אחר. גם גישתו של דוהרינג נראית לי חד-צדדית, והפיתרון כנראה נמצא אי שם בין לבין. לא נשיג שום דבר במתמטיקה פורמלית עד שהבעיות האלה תפתרנה.

——————————————————————————

  1. שאלות שהעלה Ernst Blümel 1884-1952 במהלך מחזור ההרצאות: חום על הגבול בין מרחב לחלל. דחפים של מדע הרוח לפיתוח הפיזיקה. קורס שני במדעי הטבע. הרצאה שניתנה בתאריך 11.3.1920 (GA321) – עומד לצאת לאור בעברית בהוצאת תלתן בשם: מדעי הטבע – פיסיקה – מנקודת המבט של מדע הרוח. בלומל לימד מתמטיקה בבית הספר ללימודי המשך בגתהאנום ובבית הספר הראשון של ולדורף בשטוטגרט.
  2. ארנסט מולר 1884-1954 Ernst Müller מתמטיקאי, סופר, נשא הרצאה בנושא "המתודה של המתמטיקה" בשטוטגרט ב-8 במרץ 1920.
  3. לדיונים נוספים על המטמורפוזה של עצמות ארוכות לעצמות הראש, ראו גם הרצאותיו של שטיינר מה-1 בספטמבר 1919 (GA293) – יצא לאור בעברית בהוצאת תלתן בשם: ידע האדם; 10 באפריל 1920 GA201 ו-1,10,11,15,17 בינואר 1921 (GA323).
  4. על מציאות תחום המספרים המדומים, ראו גם הרצאותיו של שטיינר מ-12 במרץ 1920 (GA321) ו-18 בינואר 1921 (GA323).
  5. הרצאות על פיזיקה: רודולף שטיינר, חום בגבול בין מרחב לחלל. דחפים של מדע הרוח לפיתוח הפיזיקה. קורס שני במדעי הטבע (GA321). ראו במיוחד את ההרצאות של 10 ו-11 במרץ 1920. – בקרוב יצא לאור בעברית בהוצאת תלתן בשם: מדעי הטבע – פיסיקה – מנקודת המבט של מדע הרוח.
  6. השווה את הקטעים הבאים עם הרצאותיו של שטיינר מ-12 וה-14 במרץ 1920 (GA321).
  7. גרסה נוספת של הטקסט אומרת: "האדום בהתאם למיקום היוצא".
  8. ראה הסבריו של שטיינר על המרחב השלילי האתרי בהרצאותיו מ-8, 15 ו-18 בינואר 1921 (GA323); שאלות ותשובות מיום 7 באפריל 1921 (GA76); הרצאות מתאריכים 8 ו-9 באפריל 1922 (GA82), ושאלות ותשובות מתאריך 12 באפריל 1922 (GA82).
  9. ראו הרצאה שהתקיימה ב-11 במאי 1917 (GA174b), שבה מספר רודולף שטיינר על חוויה אישית במהלך קורס באוניברסיטת וינה.
  10. רודולף שטיינר מתייחס לזאת בהרצאתו מ-11 במאי 1917 (GA174b).
  11. ראו את ספרו של דניאל זהבי: פסלו של רודולף שטיינר: נציג האנושות – יצא לאור בעברית בהוצאת חירות.
  12. ההנחה היא ששטיינר מתייחס כאן לבעיה בתורת המספרים של מציאת המספרים השלמים a, b ו- c שהם פתרונות למשוואה a2 + b2 = c2. מספרים כאלה ידועים בשם שלישיות פיתגורס. אלגוריתמים למציאת כל הפתרונות של משוואה זו – כלומר כל השלישייה הפיתגוראית – ידועים מאז ימי קדם.
  13. קריאתו של רודולף שטיינר להקמת בסיס של חשבון ואלגברה ללא תלות בגיאומטריה חודשה בסוף המאה התשע עשרה כאשר הנטייה לאריתמטיקה במתמטיקה הלכה לעיתים רחוק מדי. עבר זמן מה עד שהתפתחות זו מצאה את דרכה לספרי לימוד ולהוראת המתמטיקה.
  14. קרל פרידריך גאוס (1777-1855 Carl Friedrich Gauss), מתמטיקאי שהסביר מספרים שליליים כהפכים פשוטים למספרים חיוביים.
  15. אוייגן דוהרינג (1833-1921 Eugen Dühring), פילוסוף ומחבר ספרי כלכלה פוליטית. ראו במיוחד את הספר שנכתב עם בנו אולריך [1884], המכיל ביקורת קשה על הגדרת המספרים השליליים של גאוס.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.