שאלות ותשובות לגבי הממד הרביעי
רודולף שטיינר
GA324a
תרגום מרומנית: מ. ברכה
עריכת תרגום: דניאל זהבי
תיקונים: דליה דיימל
לספר ראו כאן
מספר 22
דורנאך, 29.12.1922
דיון לאחר הרצאה.[1]
כפי שהסקתם מההרצאה, ניתן להבחין בין המרחב הממשי למרחב החזותי. שוני זה יכול לעודד אותנו להתקדם מעבר להתבוננות ביסוד המתמטי מחד והעולם הפיזי מאידך. כפי שניתן לראות מהרצאתי, זה נכון שהמתמטיקה היא תוצר של הרוח האנושית או של האדם באופן כללי. וכי ככל שאנו מתקדמים בתחומים מתמטיים טהורים – כלומר בתחומים המתוארים במונחים מתמטיים בלבד – אנו הופכים פחות ופחות מודעים למציאות.[2] כולכם עדים לקושי שתמיד מתעורר בעת המודרנית כאשר מנסים להשתמש במתמטיקה כדי לתאר את המציאות.
ראו למשל, את המעבר מהתחום האינסופי של הגיאומטריה ההיטלית למישור, ובקושי תוכלו ליישב את אבן הפינה הזו של הגיאומטריה ההיטלית עם הרעיונות הרגילים שלנו של המציאות, המבוססים על קשר גומלין ניסיוני כלפי העולם סביבנו.[3] כתוצאה מכך, משימתנו – ואנשים רבים עם הכשרה מתאימה יצטרכו להשקיע בכך עבודה קשה – היא לנסות להשתמש ברעיונות מתמטיים כדי להבין את המציאות בתחומים מאוד קונקרטיים.[4] ברצוני להבהיר את הבעיה בעניין זה. הפיתרון יכול להצליח רק אם המתמטיקאים באמת יתחילו לעבוד ברצינות עליו. הבעיה היא כדלקמן:
נסו להתייחס למה שפיתחנו באופן תיאורטי כמרחב ממשי באופן שעלינו להכניס לחוויה הארצית האנושית את כל חוויית המגע הארצי שלנו, כולל הממדיות הטבועה בו, ביחס שלנו אל כוח הכבידה. האדם נמצא בתוך כוח הכבידה והכוחות הצנטריפטליים השונים הבאים מן ההיקף בכיוונים שונים, שמאפשרים לנו לערוך משוואות דיפרנציאליות. בנוגע למרחב הממשי, עלינו לטפל במשוואות אלה באותו אופן שבו אנו מתייחסים למשוואות עבור תנועות מוגדרות בגיאומטריה אנליטית ובמכניקה אנליטית. לאחר מכן יתאפשר לתאם את המשוואות הללו, דבר שנותן לנו אינטגרלים ספציפיים עבור מה שאנו חווים במרחב הממשי, בעוד שדיפרנציאלים תמיד מובילים אותנו מהמציאות החוצה.
שילוב דיפרנציאלים אלה מוביל לדיאגרמות שדיברנו עליהן שלשום.[5] אם ברצונכם לשוב לאמת של דיאגרמות אלה, עליכם לעשות זאת כפי שציינתי בהרצאה זו. עליכם לנוע עם המשוואות השלמות בתחום הממשי האמיתי. על ידי זה יתברר לכם שבנוגע לממשי, לממד האנכי יש דיפרנציאליות מסוימת, ולכן במשוואה זו, אם מתכוונים למשתנה x, הוא צריך לבוא אחרי הסימן, למשל, + או -. זה מאפשר להציב אינטגרלים עבור הניסיון שלנו במרחב הממשי. תנו לי לנסח את זה בצורה סכמטית:
∫f(x)dy
התוצאה תהיה אינטגרלים לחוויות המרחב הממשי.
בואו נלך רחוק יותר וניישם את אותו עיקרון על המרחב החזותי. שוב אנו יוצרים את המשוואות הדיפרנציאליות, שנצטרך להתייחס אליהן באופן בו התייחסנו למשוואות בתנועות מוגדרות בגיאומטריה אנליטית ובמכניקה אנליטית. נראה שכאשר נשלב אותן נקבל אינטגרלים דומים מאוד אך באופן שאם ניקח בחשבון שהמשתנה x היה חיובי, כעת עלינו לתפוס אותו כשלילי. כאשר אנו מתייחסים לאינטגרציה בצורה זו אנו מקבלים תוצאה המובילה לאינטגרלים אחרים:
∫f(x)dy
אולם כשאני מפחית את השניים זה מזה, אני מקבל בערך אפס. הם מבטלים זה את זה. כלומר, כשאני עושה אינטגרציה ביחס למרחב החזותי אני מקבל אינטגרלים המבטלים את אלה של המרחב הממשי. והאינטגרלים של המרחב הממשי מזכירים לי מאוד – רק שהם יהיו מפורטים יותר – את כל הנוסחאות שאני צריך בשביל הנסיבות והיחסים המתייחסים לגיאומטריה אנליטית ומה שהוא מכני באופן כללי. רק שבנוסחאות מכניות צריך לכלול את כוח הכבידה.
אני מקבל אינטגרלים עבור המרחב החזותי שנראים מתאימים, רק אם במציאות את מה שנראה מבחינה מרחבית, אני מביע כבר מההתחלה מבחינה מתמטית. כי המצב הוא כזה שאנו מתחילים עם דוגמה קלת ערך ועורכים מבנים בנוגע לראייה ואיננו רואים שכאשר אנו מתחשבים במרחב החזותי עלינו לחשב בעזרת התנועה האנכית הבלתי נמנעת, יש להכיר בכך שהראיה תמיד נאלצת לפעול באופן ההפוך לכוח הכבידה.[6]
אם זה נלקח בחשבון, יתכן מצד אחד, לקשר את האינטגרלים למכניקה ומצד שני לאופטיקה. בדרך זו אנו מנסחים מכניקה, אופטיקה וכו', באינטגרלים שמישים המקיפים את המציאות של המצב. זה לא לגמרי נכון שההבדל בין אינטגרלים הוא אפס, אלא אלו תוצאות דיפרנציאליות. במקום לכתוב אפס, עלינו לכתוב:
| dx = | ∫ + | ‒ | ∫ ‒ |
אם אצור את האפשרות שעל ידי חיפושים חוזרים ונשנים של אינטגרלים והדיפרנציאלים שנובעים מהם, נשיג משוואות דיפרנציאליות המתאימות ל-dx, נוכל לראות שכאשר אני לוקח את dx כחיובי כאן וכשלילי שם, אזיdx הוא מספר דמיוני במובן המתמטי.
אך אם אשלב כעת את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת, אחווה תוצאה מפתיעה. ניתן לחוות זאת אם תפתרו את הבעיה בצורה נכונה. כלומר, תקבלו את הנוסחאות האקוסטיות ודרך זה את האקוסטיקה. כך באמת השתמשתם במתמטיקה כדי להבין מציאות פנימית. למדתם שעלינו לרשום את המכניקה למטה על המאונך, ואת הראיה למעלה על המאונך – מאחר והאור שווה לכוח הכבידה השלילי – בזמן שהשמיעה מתרחשת בקו אופקי. כשתערכו חישובים אלה לא רק תבחינו בפערים – מתמטיקה מחד ופיזיקה מאידך – כתוצאה ממשוואות של לגראנג'[7] – אלא תבינו כי ניתן גם לבצע עבודה פורייה בתחום המתמטיקה והפיזיקה על בסיס זה, כמו העבודה שאליה התייחסתי קודם לכן בתחום הפילוגנטיקה.[8]
בכיוון זה – באמצעות העיבוד שלהם ולא רק באמצעות תצפיות תיאוריות – נגלה את הבדלים בין מדעי הטבע המודרניים לבין האנתרופוסופיה. נצטרך להוכיח כי בתחום החישובים אנו נמצאים במציאות ממשית לחלוטין.
————————————————————————
- הערות נוספות של רודולף שטיינר במהלך סדרת ההרצאות מקורות מדעי הטבע GA326. דיון שהיה אחרי הרצאה של Ernst Blümel ב- Die vier Raumdimensionen im Licht der Anthroposophie. ↑
- ראה הרצאות שנערכו בתאריכים 26 עד 28 בדצמבר 1922 (GA326). למרחב הממשי והחזותי ראו הרצאותיו של רודולף שטיינר מ-17 במרץ 1921 (GA324) ו-1 בינואר 1923 (GA326). ↑
- רודולף שטיינר מציין במקומות רבים את המעבר מכדור למישור או ממעגל לקו ישר. ראו את הקטעים המקבילים בהרצאה של 24 במרץ 1905. ↑
- למידע נוסף אודות "המציאות הנראית" באמצעות גיאומטריה היטלית ראו הרצאותיו של רודולף שטיינר מיום 11 בינואר 1921 (GA73a) 5 באפריל 1921 (GA76). ↑
- עיין בהרצאתו של רודולף שטיינר מ-27 בדצמבר 1922 (GA326). ↑
- למספרים שליליים ראו את הרצאותיו של רודולף שטיינר מ-7 בינואר ו-8 בינואר 1921 (GA323). ↑
- Joseph-Louis Lagrange 1736-1813)), מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום בטורינו, ברלין ופריז. ראו את ספרו:
Mécanique analytique (פריז, 1788). ↑
- ראה הרצאתו של רודולף שטיינר מיום 28 בדצמבר 1922 (GA326). ↑