רודולף שטיינר

GA324a

תרגום מרומנית: מ. ברכה

עריכת תרגום: דניאל זהבי

תיקונים: דליה דיימל

לספר ראו כאן

מספר 19

דורנאך, 7.4.1921

שאלה: נאמר כי שלושת ממדי החלל שונים זה מזה במבנה שלהם. מהו הבדל זה?^[1]

האמירה מעולם לא נוסחה כך: "שלושת ממדי המרחב אינם זהים במבנה שלהם", אך ההיבט שאליו אתה מתכוון הוא כנראה להלן. תחילה יש לנו את המרחב המתמטי שאנו מדמיינים – אם אנו מייצגים אותו בצורה מדויקת – כמורכב משלושה ממדים או כיוונים מאונכים אותם אנו מגדירים באמצעות מערכת קואורדינטות של שלושה צירים מאונכים. כאשר אנו מתייחסים למרחב זה מנקודת המבט הרגילה של המתמטיקה אנו מתייחסים לשלושת הממדים כאילו הם זהים. אנחנו לא מבדילים כמעט בין הממדים של מעלה ומטה, ימינה ושמאלה, קדימה ואחורה עד כדי כך שאנחנו באמת חושבים שאפשר להחליף ביניהם. מבחינת המרחב המתמטי, אחרי הכל, אין הבדל אם נגיד שהשטח של הציר y המצוי במאונך למישור שנוצר על ידי הצירים x ו-z (שגם הם מאונכים זה לזה) הוא "אופקי" או "אנכי". אנחנו גם לא מעוניינים להגביל את סוג המרחב הזה, וזה לא אומר שאנחנו בדרך כלל חושבים עליו כבלתי מוגבל. פשוט לא אכפת לנו מגבולותיו. אנו יוצאים מנקודת הנחה שמכל נקודה בציר ה-x, למשל, נוכל להמשיך לנוע לאורך הציר ללא גבול, מבלי להגיע אי פעם לקצהו.

לאורך כל המאה ה-19 הציגה המגאגיאומטריה רעיונות רבים בניגוד לתפיסת המרחב בגיאומטריה האוקלידית.^[2] אני רק רוצה להזכיר, למשל, כיצד רימן [Riemann] הבדיל בין "חוסר הגבולות" של המרחב ל"אינסוף" המרחב. מנקודת המבט של חשיבה מושגית טהורה, גם אין צורך להניח ש"חוסר גבולות" המרחב וה"אינסוף" זהים. קחו למשל את השטח החיצוני של כדור. כשאתם מציירים על שטח כזה, אתם אף פעם לא נתקלים בגבולות מרחביים שימנעו מכם להמשיך לצייר. בסופו של דבר, כמובן, תחצו את הציור הקודם, אך כל עוד תישארו על פני שטח הכדור לא תתקלו בגבול שיאלץ אתכם לעצור. לפיכך, ניתן לומר כי פני השטח של כדור הם בלתי מוגבלים ביחס ליכולת לצייר עליו. זה לא אומר שכל אחד יכול לטעון שמשטח כזה הוא אינסופי. בדרך זו, ברמה המושגית הטהורה, נוכל להבחין בין חוסר גבולות לבין אינסוף.

בהנחות מתמטיות מסוימות ניתן להרחיב הבחנה זו למרחב כשלם. אם נדמיין שדבר לעולם לא ימנע מאיתנו להאריך את ציר x או y על ידי המשך הוספת קטעים, תכונה זו של המרחב מעידה על חוסר הגבולות שלו אך לא על האינסוף שלו. זה שאני יכול להמשיך להוסיף קטעים ללא גבול לא מעיד על כך שהמרחב הוא בהכרח אינסופי. זה פשוט יכול להיות ללא גבולות. עלינו להבחין בין שני מושגים אלה. אם המרחב הוא בלתי מוגבל אך לא אינסופי, אנו יכולים להניח שהוא מעוקל מטבעו וכי אנו יכולים לחזור בצורה מסוימת לנקודת המוצא שלו, כמו על פני שטח כדורי. רעיונות מסוימים במגאגיאומטריה מודרנית גם תלויים בהנחות שכאלו. לא קל להתנגד להנחות אלה מכיוון שאיננו יכולים להסיק מניסיוננו שהמרחב הוא אכן אינסופי. זה יכול להיות באותה מידה מעוקל וסופי.

אני לא יכול לשאת את קו המחשבה הזה עד סופו מבלי שאסביר את כל המגאגיאומטריה של הזמן האחרון. תוכלו למצוא בקלות ביצירותיהם של רימן, גאוס ואחרים, מספיק נקודות תמיכה להבנה, במידה ואתם מעוניינים ברעיונות מתמטיים מסוג זה. אלה הטיעונים המתמטיים הטהורים כנגד המרחב הקבוע והניטראלי של הגיאומטריה האוקלידית. כל הטיעונים שהזכרתי עד כה מבוססים רק על מושג חוסר הגבולות. עם זאת, שאלתך נעוצה במקום אחר, ברעיון הטוען שהמרחב שאנו לוקחים בחשבון, ואשר אנו פוגשים בו בגיאומטריה אנליטית, למשל, כאשר אנו מתמודדים עם מערכת מתואמת של שלושה צירים מאונכים, הוא הפשטה. אבל איזו הפשטה? יש להשיב תחילה על שאלה זו.

זו שאלה האם עלינו לעצור בהפשטה ה"מרחבית" הזו או לא. האם מרחב מופשט הוא המרחב היחיד שאנו יכולים לדבר עליו? אם מושג המרחב המופשט הזה הוא היחיד שמוצדק לדבר עליו, הרי שרק התנגדות אחת אפשרית, והתנגדות זו היא זו שהועלתה במידה מספקת בגיאומטריה של ריימן או צורות אחרות של מגאגיאומטריה.^[3]

הגדרות המרחב של קאנט, למשל, מבוססות על מושג מאוד מופשט של מרחב. התפיסה שלו לא עוסקת בנושא של חוסר גבולות או באינסוף. במהלך המאה ה-19 התנפץ רעיון זה – גם באופן פנימי, במה שנוגע לתוכן הרעיוני שלו – על ידי המתמטיקה. לא ניתן גם לומר שההגדרות של קאנט יכולות להיות תקפות למרחב חסר גבולות, אך לא אינסופי. הרבה ממה שקאנט ​​מציג מאוחר יותר ב'ביקורת התבונה הטהורה' שלו – תורת הפרלוגיזם, למשל – היה מתרופף אם נמשיך למושג המרחב חסר הגבולות והמעוקל עצמו.^[4]

אני יודע שהמושג הזה של מרחב מעוקל מציב בעיות בדרך הרגילה בה אנו חושבים על דברים. אך מנקודת מבט מתמטית-גיאומטרית בלבד, הטענה היחידה האפשרית נגד ההנחה שהמרחב הוא מעוקל היא שאנו נעים בהתחלה בתחום של הפשטוֹת טהורות שרחוקות למדי מהמציאות. בהתבוננות מקרוב בסיטואציה, אנו מגלים שבמקורות המגאגיאומטריה המודרנית קיים נימוק עקיף מוזר, דהיינו שאנו מגיעים אליו כשאנו לוקחים כנקודת מוצא את רעיונות הגיאומטריה האוקלידית שאינה עוסקת כלל בגבולותיו של המרחב. לאחר מכן אנו עוברים לרעיונות נגזרים מסוימים כגון אלה החלים על פני השטח של הכדור. בהתבסס על נגזרות אלה והצורות המתקבלות אנו יכולים לבצע טרנספוזיציות מסוימות ולאחר מכן לבצע פרשנויות מחודשות של המרחב. כל מה שנאמר יוצא מנקודת המוצא של הגיאומטריה האוקלידית המתואמת. בהתבסס על הנחה זו אנו מקבלים עקמומיות מסוימת. אנו מגיעים לנגזרות. כל החישובים הללו מניחים ביסודם את הגיאומטריה האוקלידית. אולם כאן אנו מגיעים לנקודת מפנה. אנו משתמשים ברעיונות כמו של עקמומיות, שפיתחנו רק בעזרת הגיאומטריה האוקלידית כדי להגיע לרעיון נוסף שיכול להוביל לנקודת מבט חדשה ולפרשנות חדשה לגבי התועלת שהפקנו מהצורות המעוקלות. מנקודת מבט עקרונית, אנו נעים בתחום המרוחק מהמציאות, ומפיקים הפשטות מהפשטות. פעילות זו תהיה מוצדקת רק אם מציאות ניסיונית הייתה מחייבת אותנו לישר קו עם התוצאות של הפשטות מעין אלו.

אם כן, השאלה היא: היכן המרחב המופשט תואם את ניסיוננו? שכן המרחב ככזה, כפי שדמיין אותו אוקלידוס, הוא הפשטה. מה ההיבט הניסיוני, המורגש, שלו?

עלינו לקחת כנקודת מוצא את חווית המרחב האנושית שלנו. כתוצאה מהניסיון שלנו אנו תופסים למעשה רק ממד אחד של המרחב, כלומר ממד העומק. קליטה פעילה זו של ממד העומק מבוססת על תהליך התודעה שלנו שמתעלמים ממנו לעיתים קרובות. אך תפיסת העומק הפעילה הזו שונה מאוד מהרעיון של מישור, של התרחבות דו-ממדית. כאשר אנו מסתכלים החוצה אל העולם בשתי העיניים, לעולם איננו יודעים ששני הממדים הללו נוצרים באמצעות הפעילות שלנו, באמצעות השתתפות הנפש. הם נמצאים שם כנתון, בעוד שהממד השלישי מופיע כתוצאה מפעילות שבדרך כלל אנו לא מודעים לה. עלינו לפעול כדי לזהות עומק, בידיעה עד כמה אובייקט רחוק מאיתנו. איננו מחשבים את מידתו של השטח; הוא ניתן לנו על ידי תפיסה ישירה. אולם אנו משתמשים בשתי העיניים כדי לעבד את ממד העומק. הדרך בה אנו חווים את ממד העומק קרובה מאוד לגבול שבין המודע לבין הלא-מודע. אך כאשר אנו לומדים לשים לב לתהליכים כאלה אנו יודעים שהפעילות של אומדן העומק, שלעולם לא מודעת לחלוטין – היא לכל היותר חצי מודעת או שליש מודעת – דומה הרבה יותר לפעילות רציונלית, תהליך נפשי פעיל, מכל אובייקט שנראה במישור.

בדרך זו אנו משיגים באופן פעיל ממד אחר של המרחב התלת ממדי, בזכות תודעתנו האובייקטיבית. ועלינו לומר שבהתבוננות על המצב האנכי של האדם, באמצעות זה ניתן לנו משהו לגבי ממד העומק – כלומר קדימה ואחורה – מה שגורם לכך שאי אפשר להחליפו עם כל ממד אחר. העובדה שאנו חווים ממד זה באופן פעיל הופכת אותו לבלתי ניתן להחלפה עם כל ממד אחר. עבור האדם, לא ניתן להחליף את ממד העומק בממד אחר. זה גם נכון שהתפיסה שלנו של שני הממדים – כלומר של מעלה ומטה, ימינה ושמאלה, גם אם שני הממדים האלה נמצאים לפנינו – קשורה לחלקים שונים של המוח שלנו. הם טבועים בתהליך הראייה, בתהליך הראייה החושית, בעוד שהממד השלישי מופיע בפנינו בחלק זה של המוח הממוקם קרוב מאוד למרכזים הקשורים לפעילות רציונלית. לפיכך, אנו רואים כי גם בקשר לניסיון חיינו, יש לממד השלישי הבדל מהותי משני הממדים האחרים.

כאשר אנו עולים לרמת האימגינציה אנו משאירים מאחור את ניסיוננו בממד השלישי, עוברים, למעשה, באימגינציה לרעיון הדו-ממדי. ברמה זו עלינו לפעול כדי להתנסות בכיווני שמאל-ימין, באופן קל להשגה כמו שההתנסות בקדימה ואחורה דורשת פעילות שאנו לא מודעים לה במלוא המידה. ולבסוף כשאנו עולים לרמת האינספירציה, הדבר דומה לגבי הממד של מעלה ומטה.^[5]

במידה והקליטה הרגילה, הקשורה למערכת העצבים שלנו, מעורבת, אנו מתנסים בממד השלישי. אך כאשר אנו פונים ישירות למערכת הריתמית, עם ניתוק הפעילות של מערכת העצבים, אנו חווים את הממד השני. הדבר מתרחש במידה מסוימת כאשר אנו עולים לרמת האימגינציה. הדברים לא ממש כאלה, אבל זה מספיק לעת עתה. אנו חווים את הממד הראשון כאשר אנו עולים לרמת האינספירציה, כלומר כאשר אנו מתקדמים לחלק השלישי במבנה האנושי שלנו.

לפיכך, מה שאנו פוגשים במרחב המופשט מוכיח שהוא מדויק, מכיוון שכל ההישגים המתמטיים שלנו מגיעים מתוכנו. התוצאה המתמטית, המרחב בעל שלושת מרכיבים, הוא משהו שנובע מתוכנו. אך כאשר אנו יורדים מטה לתוך עצמנו באמצעות רמות הקליטה העל-חושית, התוצאה אינה המרחב המופשט עם שלושת הממדים השונים בעלי אותו ערך, אלא שלושה ערכים שונים לקדימה ואחורה, ימינה ושמאלה, מעלה ומטה. לא ניתן להחליף מידות אלה.^[6]

מכאן ניתן לחשוב גם על משהו אחר: אין צורך לחשוב על שלושת הממדים הללו כבעלי עוצמה שווה, כפי שאנו חושבים על הצירים x, y ו- z במרחב האוקלידי.

אם ברצוננו לדבוק במה שמשוואות הגיאומטריה האנליטית אומרות לנו, עלינו לראות את שלושת הצירים כעוצמות שוות. אם אנו מגדילים את ציר ה-x בצורה אלסטית בעוצמה מסוימת, גם צירים y ו-z צריכים לעלות באותה עוצמה. במילים אחרות, כשאני משתמש בעוצמה מסוימת להרחבת ממד, כוח ההתפשטות חייב להיות זהה עבור כל שלושת הצירים, כלומר כל שלושת הממדים של המרחב האוקלידי. בגלל זה, אני רוצה לקרוא למרחב מסוג זה "מרחב קבוע".

מרחב קבוע הוא הפשטה של ​​מרחב אמיתי המתפתח מתוך פנימיות בני האדם ועיקרון העוצמה השווה אינו חל על מרחב אמיתי. כאשר אנו חושבים על המרחב האמיתי איננו יכולים עוד לומר שעוצמת ההתרחבות זהה לכל שלושת הממדים. בעיקרו של דבר, העוצמה תלויה בפרופורציות האנושיות הנובעות מעוצמות התרחבות מרחביות. לדוגמה, ניקח את ציר ה-y, שכיוונו מעלה ומטה. עלינו לדמיין את עוצמת ההתרחבות שלו כגדולה יותר מזו של ציר ה-x המתאים לכיוון שמאל-ימין. הנוסחה המהווה ביטוי מופשט של מרחב אמיתי – עלינו להיות מודעים לכך שנוסחה זו היא גם הפשטה – מתארת ​​גוף אליפסי בעל שלושה צירים [אליפסואיד].^[7]

התפיסה העל-חושית מקורה בשלוש אפשרויות ההתרחבות השונות של מרחב תלת-צירי זה. הגוף הפיזי מספק תפיסה ישירה בשלושת הצירים האמיתיים x, y, z, וכך נכיר כי במקביל מרחב זה הוא כמוביל לביטוי היחסים בין פעולות הגופים השמיימיים שנמצאים בו. אם אנו מדמיינים זאת, עלינו גם לקחת בחשבון כי לא ניתן להסביר כל מה שלדעתנו קיים ביקום התלת-ממדי אם עוצמת ההתרחבות של הצירים x, y ו-z הייתה זהה, כמו במקרה של המרחב האוקלידי. עלינו לדמיין כי ליקום יש תצורה שצריכה להיות מיוצגת גם על ידי אליפסואיד בעל שלושה צירים. במיוחד תצורה של כוכבים מסוימים מעידה שרעיון זה נכון. לדוגמה, בדרך כלל אנו אומרים שגלקסיית שביל החלב מעוצבת כעדשה וכן הלאה. איננו יכולים לדמיין אותה ככדור. עלינו למצוא דרך אחרת לחשוב עליה אם עדיין ברצוננו להיצמד לעובדות הפיזיקה בלבד.

אופן הטיפול במרחב מדגים עד כמה מעט החשיבה המודרנית תואמת את הטבע. בזמנים ובתרבויות ישנות יותר, איש לא הגיע למושג מרחב קבוע. איננו יכולים אף לומר כי המרחב האוקלידי המקורי כלל רעיון ברור של מרחב קבוע בעל שלוש עוצמות התרחבות שוות ושלושה קווים מאונכים. רק בתקופה האחרונה, כשהחלו לטפל במרחב האוקלידי בחישובים והפשטה, שהפכה לתכונה המהותית של החשיבה, נולד המושג המופשט של המרחב.^[8] הידע שהיה לאנשים בעת העתיקה היה דומה לזה שפיתחנו כעת מחדש על בסיס תפיסה על-חושית. אתם יכולים לראות מזה שלמושגים שעליהם אנו מסתמכים כיום, כמובן מאליו, יש חשיבות זו רק משום שהם פועלים בתחום זר למציאות. המרחב שאנו רגילים אליו היום הוא הפשטה. זה רחוק מאוד מכל מה שהניסיון שלנו יכול ללמד אותנו. כיום אנו לרוב מסתפקים בהפשטות. בזמננו, כאשר דגש רב כל כך מושם על אמפיריות, אנו מתייחסים לעיתים קרובות להפשטות אפילו מבלי להיות מודעים לכך. אנו חושבים שאנו מתמודדים עם דברים אמיתיים בעולם האמיתי. אך ראו עד כמה הרעיונות שלנו זקוקים לתיקון מנקודת מבט זו.

החוקר הרוחני אינו מבקש לבדוק עם כל מושג הוא גם הגיוני. תפיסת המרחב של רימן היא גם ממש הגיונית, אם כי במידה מסוימת היא תלויה במרחב האוקלידי. עם זאת, אי אפשר לחשוב עד למסקנה המתבקשת כיוון שאנו מתקרבים אליה באמצעים של חשיבה מופשטת מאוד, ובתהליך זה חשיבתנו מתהפכת על פניה בגלל אחת מהמסקנות הנגזרות. חוקר הרוח לא שואל פשוט אם רעיון הוא הגיוני או לא. הוא שואל אם זה תואם את המציאות או לא. מבחינתו זהו הגורם המכריע בקבלה או דחייה של מושג כלשהו. הוא מקבל רעיון רק כשהוא תואם את האמת.

התאמה למציאות תשמש קריטריון כאשר נתייחס באופן נכון לרעיונות כמו הצדקת תורת היחסות. כשלעצמה, תאוריה זו היא הגיונית ככל שיש באפשרותה להיות, כיוון שהיא מובנת רק בתוך הפשטות לוגיות. שום דבר לא יכול להיות הגיוני יותר מתורת היחסות. אולם השאלה הנוספת היא האם ניתן לפעול על פיה. מספיק להסתכל על הדימויים המוצגים בה ותגלו שהם זרים מאוד למציאות. הם רעיונות שפשוט נזרקו ביחד. נאמר לנו שרעיונות אלה קיימים רק כסמלים. אבל הם אינם רק סמלים. בלעדיהם כל התהליך יישאר תלוי באוויר.

ובכן, זה מה שרציתי לומר לגבי השאלה שלך. כפי שאתה יכול לראות, אין תשובה קלה לשאלות הנוגעות לתחומים כאלה.

——————————————————————

1. שאלות ותשובות במהלך הכנס האנתרופוסופי השני בגתהאנום בדורנאך בתאריכים 3-10 באפריל 1921. הרצאותיו של רודולף שטיינר בנושא "אנתרופוסופיה והמדעים הנלווים" הופיעו ב-GA76. ↑
2. Metageometry – מגאגיאומטריה הוא מונח מעט מיושן, המקיף סוגים שונים של גיאומטריה לא אוקלידית. במחצית השנייה של המאה ה-19, גיאומטריות לא אוקלידיות אלה כללו גיאומטריה השלכתית, היפרבולית ואליפטית, בדרך כלל הגיאומטריה של מרחבים מעוקלים (הגיאומטריה של רימן) והגיאומטריה של מרחבים רב ממדיים. ↑
3. "במגאגיאומטריה של רימן" הכוונה כנראה למה שנקרא גיאומטריה אליפטית, שהתגלתה לראשונה על ידי רימן, הקשורה קשר הדוק לגיאומטריה של פני השטח הכדוריים, או לתיאוריה הכללית – המבוססת גם על עבודתו של רימן – של חללים מעוקלים. הגיאומטריה האליפטית היא רק מקרה ספציפי (שטח עם עקמומיות חיובית קבועה). ↑
4. הדיון של קאנט בפרלוגיזם (מסקנות כוזבות או מטעות) ובאנטינומיות של תבונה טהורה מהווים חלק גדול מהכרך השני, 'הדיאלקטיקה הטרנסצנדנטלית של ביקורת התבונה הטהורה' [1787]. ↑
5. על יחס האימגינציה, האינספירציה והאינטואיציה לממדי המרחב, ראו את הרצאותיו של רודולף שטיינר מ-19 ו-26 באוגוסט 1923 [GA227]. ראו גם הרצאותיו מיום 17 במאי 1905[GA324a] 16 בספטמבר 1907 [GA101] 15 בינואר 1921 [GA323] 8 באפריל 1922[GA82] 24 ביוני 1922 [GA213] ומפגש השאלות והתשובות מיום 12 באפריל 1922 (GA82 ו- GA324a). ↑
6. ראו גם הרצאותיו של רודולף שטיינר מ-9 ו-10 באפריל 1920 (GA201) ההרצאה מ-9.4.1920 מופיעה בעברית בארכיב החינמי לכתבי רודולף שטיינר באתר של דניאל זהבי; 17 במרץ 1921 GA324; 26 ו-27 בדצמבר 1922; 1 בינואר 1923 (GA326). ↑
7. אֶלִּיפְּסוֹאִיד הוא גוף תלת-ממדי שכל חתך שלו יוצר אליפסה. צורתו של כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד. ↑
8. בעיקרו של דבר, גיאומטריה תלת ממדית היא עדיין סטריאומטריה, כלומר חקר התכונות הגיאומטריות של אובייקטים תלת ממדיים. זוויות ישרות ומושג הניצב ממלאות תפקיד חשוב בגיאומטריה האוקלידית, אך אוקלידס לא שם שום דגש על הקובייה או על המערכת הקשורה של שלושת הצירים הניצבים. ↑